お客様(一般の飼い主)の登録変更を事業者が代行して行うことはできますか？

できません。
事業者が代行して行うことは行政書士法に違反する可能性があるため、犬猫を購入したお客様に変更登録を行ってもらうように促してください。あわせて、住所やお名前が変わった時にも、変更の届出が必要であることも案内すると親切です。